Question

15．设等差数列{a_n}的前n项和S_n=2n²，在数列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=3b_n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设C_n=a_nb_n，求证数列{c_n}前n项和为T_n=（2n-2）3ⁿ+2．

Answer 1

分析 （1）等差数列{a_n}的前n项和S_n=2n²，可得a₁=S₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出a_n，由数列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=3b_n（n∈N^*），利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）C_n=a_nb_n=（4n-2）•3^n-1，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）解：∵等差数列{a_n}的前n项和S_n=2n²，
∴a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2，
当n=1时上式成立，∴a_n=4n-2．
∵数列{b_n}中，b₁=1，b_n+1=3b_n（n∈N^*），
∴数列{b_n}是等比数列，首项为1，公比为3，
∴b_n=3^n-1．
（2）证明：C_n=a_nb_n=（4n-2）•3^n-1，
∴数列{c_n}前n项和为T_n=2+6×3+10×3²+…+（4n-2）•3^n-1，
3T_n=2×3+6×3²+…+（4n-6）•3^n-1+（4n-2）×3ⁿ，
∴-2T_n=2+4×3+4×3²+…+4×3^n-1-（4n-2）×3ⁿ=$4×\frac{{3}^{n}-1}{3-1}$-2-（4n-2）×3ⁿ=（4-4n）×3ⁿ-4，
∴T_n=（2n-2）×3ⁿ+2．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．