Question

20．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB₁的中点，则下列结论中正确的是（　　） 
①D₁O∥平面A₁BC₁
②D₁O⊥平面MAC
③BC₁异面直线与AC所成的角等于60°
④二面角M-AC-B等于60°．

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ②③
• D． ②③④

Answer 1

分析 对于①，连接B₁D₁，交A₁C₁于E，则D₁O∥BE，利用线面平行的判定定理，可得D₁O∥平面A₁BC₁；
对于②，连接C₁D，O为底面ABCD的中心，M为棱BB₁的中点，则MO∥B₁D，根据B₁D⊥平面A₁BC₁，可得MO⊥平面A₁BC₁；
对于③，根据AC∥A₁C₁，可得∠A₁C₁B为异面直线BC₁与AC所成的角所成的角；
对于④，因为BO⊥AC，MO⊥AC，所以∠MOB为二面角M-AC-B的平面角

解答 解：对于①，连接B₁D₁，BO，交A₁C₁于E，则四边形D₁OBE为平行四边形，所以D₁O∥BE，因为D₁O?平面A₁BC₁，BE?平面A₁BC₁，所以D₁O∥平面A₁BC₁，故正确；
对于②，连接C₁D，∵O为底面ABCD的中心，即有AC⊥BD，易得AC⊥平面BDD₁B₁，
即有AC⊥D₁O，由tan∠D₁OD•tan∠MOB=$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=1，即有D₁O⊥MO，
可得D₁O⊥平面MAC，②正确；
对于③，∵AC∥A₁C₁，∴∠A₁C₁B为异面直线BC₁与AC所成的角所成的角，∵△A₁C₁B为等边三角形，∴∠A₁C₁B=60°，故正确；
对于④，因为BO⊥AC，MO⊥AC，∴∠MOB为二面角M-AC-B的平面角，显然不等于60°，故不正确；
故选B．

点评 本题考查线面平行，线面垂直，考查线线角，面面角，掌握线面平行、垂直的判定定理是关键