Question

8．已知命题p：“?x∈[-1，2]，使得不等式x²-2x-m＜0成立”，命题q：“方程$\frac{{x}^{2}}{m}$-$\frac{{y}^{2}}{m+3}$=1表示的曲线为双曲线”，若p∨q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据命题p便知道不等式x²-2x＜m在[-1，2]上有解，可设f（x）=x²-2x，容易求得f（x）的最小值为-1，这便得到m＞-1；而根据命题q知m（m+3）＞0，从而解出m＞0，或m＜-3．由p∨q为假便知p，q都为假，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{m≤-1}\\{-3≤m≤0}\end{array}\right.$，解不等式组即得实数m的取值范围．

解答 解：由命题p知：
不等式x²-2x＜m在x∈[-1，2]上有解；
设f（x）=x²-2x=（x-1）²-1，x∈[-1，2]，则：f（x）_min=-1；
∴-1＜m，即m＞-1；
由命题q得：m（m+3）＞0，∴m＜-3，或m＞0；
∵p∨q为假；
∴p假，q假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≤-1}\\{-3≤m≤0}\end{array}\right.$
∴-3≤m≤-1；
所求实数m的取值范围是[-3，-1]．

点评 考查对“?x∈[-1，2]，使得不等式x²-2x-m＜0成立”的理解，配方求二次函数在闭区间上最值的方法，掌握双曲线标准方程的形式，解一元二次不等式，以及p∨q为假时p，q的真假情况．