Question

13．在△ABC中，已知a²-a=2（b+c），a+2b=2c-3，且sinC：sinA=4：$\sqrt{13}$，求a、b、c的大小．

Answer 1

分析 由正弦定理可得sinC：sinA=c：a=4：$\sqrt{13}$，设c=4k，a=$\sqrt{13}$k．由已知可得13k²-16k+3=0．从而解得k的值，即可求得a、b、c的大小．

解答 解：∵sinC：sinA=c：a=4：$\sqrt{13}$，
∴可设c=4k，a=$\sqrt{13}$k．
又a²-a-2c=2b，2c-a-3=2b，故a²-a-2c=2c-a-3．
∴13k²-$\sqrt{13}$k-8k=8k-$\sqrt{13}$k-3，即13k²-16k+3=0．…（6分）
∴k=$\frac{3}{13}$或k=1．
∵当k=$\frac{3}{13}$时，b＜0，故舍去，
∴k=1，
∴a=$\sqrt{13}$，…（8分）
∴b=$\frac{5-\sqrt{13}}{2}$，c=4．…（12分）
注：此评分标准仅供参考，估计考生会直接解方程组，建议先解出任一边给（6分）．

点评 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．