Question

18．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-ax+（a-1）lnx，a≥2．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：若a＜5，则对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞-1．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数定义可知定义域为大于0的数，求出f′（x）讨论当a-1=1时导函数大于0，函数单调递增；当a-1＞1时讨论函数的增减性．
（2）构造函数g（x）=f（x）+x，求出导函数，根据a的取值范围得到导函数一定大于0，则g（x）为单调递增函数，则利用当x₁＞x₂＞0时有g（x₁）-g（x₂）＞0即可得证．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+（a-1）lnx，其中a＞1，
∴f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=x-a+$\frac{a-1}{x}$=$\frac{（x-1）（x+1-a）}{x}$=$\frac{（x-1）[x-（a-1）]}{x}$，
令f′（x）=0，得x₁=1，x₂=a-1．
∵a≥2时，∴x₁≤x₂，
①a=2时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）单调递增；
②a＞2时，由f′（x）＜0得，1＜x＜a-1；
由f′（x）＞0得，0＜x＜1，或x＞a-1．
故f（x）在（1，a-1）单调递减，在（0，1），（a-1，+∞）单调递增．
综上可得，当a=2时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞2时，f（x）在（1，a-1）单调递减，在（0，1），（a-1，+∞）单调递增；
（2）考虑函数g（x）=f（x）+x=$\frac{1}{2}$x2-ax+（a-1）lnx+x
则g′（x）=x-（a-1）+$\frac{a-1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{a-1}{x}}$-（a-1）=1-${（\sqrt{a-1}-1）}^{2}$，
由于2≤a＜5，故g′（x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）单调增加，
从而当x₁＞x₂＞0时有g（x₁）-g（x₂）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）+x₁-x₂＞0，故$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＞-1，
当0＜x₁＜x₂时，$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=$\frac{f{（x}_{2}）-f{（x}_{1}）}{{x}_{2}{-x}_{1}}$＞-1．

点评 本题考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及基本不等式证明的能力．