Question

15．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），其图象的一个对称中心为（$\frac{π}{12}$，0），且相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=f（x）+f（x+$\frac{π}{3}$）（x∈[0，π]），求g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）根据条件求出ω 和φ的值即可求函数f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的表达式，结合三角函数单调性以及单调递增的性质进行求解即可．

解答 解：（1）∵相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴周期T=2×$\frac{π}{2}$=π，
即T=$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，
即f（x）=2sin（2x+φ），
∵图象的一个对称中心为（$\frac{π}{12}$，0），
∴$\frac{π}{12}$×2+φ=kπ，
即φ=kπ-$\frac{π}{6}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴当k=0时，φ=-$\frac{π}{6}$，
即函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）g（x）=f（x）+f（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2sin（2x$+\frac{π}{2}$）
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x+2cos2x
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
即kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z
∵x∈[0，π]，
∴当k=0时，0≤x≤$\frac{π}{6}$，
当k=1时，$\frac{2π}{3}$≤x≤π，
故函数的增区间为[0，$\frac{π}{6}$]，[$\frac{2π}{3}$，π]．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出ω 和φ的值是解决本题的关键．