Question

6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$．
（1）若cos（2φ-$\frac{π}{3}$）+2sin（φ-$\frac{π}{4}$）sin（φ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，求φ的值；
（2）在（1）条件下，若函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于$\frac{π}{2}$，求函数的解析式，并求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位所得对应的函数是奇函数．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简已知等式可得sin（2φ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，即可解得φ的值．
（2）由题意可求T，ω．从而可得函数的解析式，由y=sin[2（x+m）+$\frac{π}{6}$]=sin（2x+2m+$\frac{π}{6}$）是奇函数，可得2m+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，即可得解．

解答 解：（1）cos（2φ-$\frac{π}{3}$）+2sin（φ-$\frac{π}{4}$）sin（φ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，
⇒$\frac{1}{2}$cos2φ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2φ+2×（-$\frac{1}{2}$）×[cos2φ-cos（-$\frac{π}{2}$）]
⇒$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2φ-$\frac{1}{2}$cos2φ=sin（2φ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$．
∴2φ-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{7π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴可解得：2φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，即可解得：φ=$\frac{π}{6}$．
（2）若函数f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离等于$\frac{π}{2}$，ω＞0，可得T=$\frac{2π}{ω}$=π，可得：ω=2．
所以：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由题意可得：y=sin[2（x+m）+$\frac{π}{6}$]=sin（2x+2m+$\frac{π}{6}$）是奇函数．
所以：2m+$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，既有：m=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，k∈Z，
故k=1时，可得最小正实数m=$\frac{5π}{12}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数恒等变换，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．