Question

14．已知函数f（x）=2cos$\frac{x}{2}$（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$），在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c且f（C）=$\sqrt{3}$+1．
（1）求∠C的大小；
（2）若c=2，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，求cos2A+cos2B的值．

Answer 1

分析 （1）运用解析式得出cos（C$+\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，即可求解C=$\frac{π}{6}$，
（2）利用面积公式和余弦定理得出$\left\{\begin{array}{l}{ab=8\sqrt{3}}\\{{a}^{2}+{b}^{2}-\sqrt{3}ab=4}\end{array}\right.$解出a，b的值，再运用正弦定理得出sinB，sinA，最后运用三角公式求解即可．

解答 解：函数f（x）=2cos$\frac{x}{2}$（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）=2$\sqrt{3}$cos²（$\frac{x}{2}$）-sinx=2cos（x+$\frac{π}{6}$）$+\sqrt{3}$，
（1）∵在△ABC中f（C）=$\sqrt{3}$+1．
∴cos（C$+\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，C=$\frac{π}{6}$，
（2）∵C=$\frac{π}{6}$，c=2，∴c²=a²+b²$-2ab×\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{ab}{2}$sinC=2$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ab=8\sqrt{3}}\\{{a}^{2}+{b}^{2}-\sqrt{3}ab=4}\end{array}\right.$解得a=4，b=2$\sqrt{3}$或a=2$\sqrt{3}$，b=4，
$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
∴R=2，a=4，b=2$\sqrt{3}$，sinA=1，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$或a=2$\sqrt{3}$，b=4，sinB=1，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴cos2A+cos2B=2-2（sin²A+sin²B）=2-2（1+$\frac{3}{4}$）=2-2×$\frac{7}{4}$=$-\frac{3}{2}$，另一种情况，计算得cos2A+cos2B=$\frac{9}{2}$＞2，舍弃．
故cos2A+cos2B=$-\frac{3}{2}$．

点评 此题考查了正弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间基本关系的运用，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键