Question

4．已知：函数f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x 
（Ⅰ）求f（$\frac{π}{6}$）的值；    
（Ⅱ）设α∈（0，π），f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由特殊角的三角函数值即可得解．
（Ⅱ） 由三角函数中的恒等变换应用化简已知等式可得16sin²α-4sinα-11=0，结合范围α∈（0，π），即可求得sinα的值．

解答 （本题10分）
解：（Ⅰ）∵$sin\frac{π}{6}=\frac{1}{2}，cos\frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴f（$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{6}$cos$\frac{π}{6}$-$\sqrt{3}$sin²$\frac{π}{6}$=0．    …（3分）
（Ⅱ） f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}sin2x$，…（5分）
∴f（$\frac{α}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$sinα=$\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}$，整理可得：2$\sqrt{3}$cosα+2sinα=1，即：2$\sqrt{3}$$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=1-2sinα，
∴两边平方可得：16sin²α-4sinα-11=0，解得sinα=$\frac{1±3\sqrt{5}}{8}$，…（8分）
∵α∈（0，π），∴sinα＞0，故sinα=$\frac{1+3\sqrt{5}}{8}$．…．（10分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．