Question

15．从同一顶点出发的三条棱长分别为1、1、$\sqrt{2}$的长方体的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为 （　　）

• A． $\frac{32π}{3}$
• B． 4π
• C． 2π
• D． $\frac{4π}{3}$

Answer 1

分析 根据长方体对角线长的公式算出对角线长，结合长方体性质可得外接球的半径，进而可得该球的体积．

解答 解：∵长方体的同一个顶点上三条棱的边长分别为1、1、$\sqrt{2}$，
∴长方体对角线长为l=$\sqrt{1+1+2}$=2
∵长方体的八个顶点都在同一个球面上，
∴长方体的对角线是该球的一条直径，
因此，球的半径R=1，
可得球的体积为：V=$\frac{4}{3}$πR³═$\frac{4}{3}$π．
故选：D．

点评 本题给出长方体过同一个顶点的三条棱长，求长方体外接球的体积，着重考查了长方体对角线公式、长方体的外接球和球的体积公式等知识，属于基础题．