Question

10．已知命题p：方程$\frac{x^2}{m+1}-\frac{y^2}{m-3}=1$表示焦点在x轴上的双曲线；命题q：函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+mx$在[2，5]上单调递增．
（Ⅰ）若p为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若（?p）∧q为真命题，求实数m的取值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据双曲线的定义即可求出m的范围；
（Ⅱ）当q为真命题时，利用导数求出参数m的范围，再根据符合命题，（?p）∧q为真命题，得到p假q真，继而求出m的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{x^2}{m+1}-\frac{y^2}{m-3}=1$表示焦点在x轴上的双曲线
∴$\left\{\begin{array}{l}m+1＞0\\ m-3＞0\end{array}\right.$，…（2分）
解得m＞3…（4分）
∴p为真命题时，实数m的取值范围为（3，+∞），）
（Ⅱ）∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}+mx$在[2，5]上单调递增，
∴f'（x）=x²-2x+m≥0在[2，5]上恒成立，
即m≥-x²+2x在[2，5]上恒成立．
∵-x²+2x=-（x-1）²+1
∴函数g（x）=-x²+2x在[2，5]上单调递减
∴g（x）_max=g（2）=-4+4=0，
即 q：m≥0
∵（?p）∧q为真命题，
∴p假q真，
∴$\left\{\begin{array}{l}m≤3\\ m≥0\end{array}\right.$，
∴0≤m≤3
∴（?p）∧q为真命题，实数a的取值范围为[0，3]．

点评 本题考查复合函数的真假与构成其简单命题的真假的关系，解决此类问题应该先求出简单命题为真时参数的范围，属于中档题．