Question

1．如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB
（Ⅱ）设点E为棱PA的中点，求三棱锥P-EBC的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据图形得出PD⊥AB．CD⊥AB，即可判断AB⊥平面PCD．得证PC⊥AB
（Ⅱ）转化V_P-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$，求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：取AB中点D，连结PD，CD
∵AP=BP，
∴PD⊥AB．
∵AC=BC．
∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D．
∴AB⊥平面PCD．
∵PC?平面PCD，
∴PC⊥AB；
（Ⅱ）解：在Rt△ABC中，AC=BC=2
∴AB=2$\sqrt{2}$，
在Rt△PDB中，PB=2$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{2}$
PD=$\sqrt{P{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
又∵PC⊥AC，PC⊥AB，AB∩AC=A
∴PC⊥平面ABC
∴PC⊥CD   
∴PC=$\sqrt{P{D}^{2}-C{D}^{2}}$=2，
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$
∵点E为棱PA的中点，
∴三棱锥P-EBC的体积V=$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了空间几何体的体积计算，空间直线与直线的位置关系，属于中档题．