Question

11．已知z为复数，z+2i为实数，且（1-2i）z为纯虚数，其中i是虚数单位．
（1）求复数z；
（2）若复数z满足$|{ω-\overline z}|=1$，求|ω|的最小值．

Answer 1

分析 （1）设z=a+bi（a，b∈R），l利用z+2i为实数，（1-2i）z为纯虚数，列出方程求解即可．
（2）设ω=x+yi，（x，y∈R），通过$|{ω-\overline z}|=1$，|ω|最小值即为原点到圆（x-4）²+（y-2）²=1上的点距离的最小值，即可求解|ω|的最小值．

解答 解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），
则z+2i=a+（b+2）i，因为z+2i为实数，所以有b+2=0①…2分
（1-2i）z（1-2i）（a+bi）=a+2b+（b-2a）i，因为（1-2i）z为纯虚数，
所以a+2b=0，b-2a≠0，②…4分
由①②解得a=4，b=-2．…6分
故z=4-2i．…7分
（2）因为z=4-2i，则$\overline{z}$=4+2i，…8分
设ω=x+yi，（x，y∈R），因为$|{ω-\overline z}|=1$，即（x-4）²+（y-2）²=1…10分
又|ω|=$\sqrt{{x^2}+y{\;}^2}$，故|ω|最小值即为原点到圆（x-4）²+（y-2）²=1上的点距离的最小值，
因为原点到点（4，2）的距离为$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{5}$，又因为圆的半径r=1，原点在圆外，
所以|ω|的最小值即为2$\sqrt{5}$-1．…14分．

点评 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，复数的模的求法，考查计算能力．