Question

3．如图，飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为A，B，C），B在A的正东方向，相距6km，C在B的北偏东30°的方向上，相距4km，P为航天员着陆点．某一时刻，在A地接到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，因此4s后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号，已知该信号的传播速度为1km/s．求∠BAP的大小．

Answer 1

分析 以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，易判断P在以A，B为焦点的双曲线的左支上，从而可确定双曲线的方程，再与BC的垂直平分线的方程联立，可求P的坐标，从而问题得解．

解答 解：以AB中点为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，…（2分）
因为|PC|=|PB|，所以P在线段BC的垂直平分线上．
又因为|PB|-|PA|=4，|AB|=6，
所以P在以A，B为焦点的双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$的左支上．…（6分）
又BC的垂直平分线方程为x+$\sqrt{3}$y-7=0…（8分）
联立两方程解得x=-8．
所以P（-8，5$\sqrt{3}$）…（10分）
所以k_PA=tan∠PAB=-$\sqrt{3}$，得∠PAB=120°．…（12分）

点评 本题主要考查了解三角形的实际应用．解此类题的要点是建立适当的三角函数模型，利用三角函数的基本公式和定理进行求解．