Question

13．已知cosx=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…．有个同学用以下方法求a₀，a₁，a₂，令x=0，得a₀=1；由（cosx）'=-sinx=a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1+…，令x=0，得a₁=0，由（cosx）''=-cosx=2a₂+2•3a₃x+…+（n-1）na_nx^n-2+…，令x=0，得a₂=-$\frac{1}{2}$，依此类推，我们可得a_2n=$\frac{（-1）^{n}}{（2n）!}$．

Answer 1

分析 观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得结论．

解答 解：cosx=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…．令x=0，得a₀=1=；
由（cosx）'=-sinx=a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1+…，令x=0，得a₁=0，
由（cosx）''=-cosx=2a₂+2•3a₃x+…+（n-1）na_nx^n-2+…，令x=0，得a₂=-$\frac{1}{2}$，
由（cosx）''′=sinx=2•3a₃+2×3×4a₄x…+（n-2）（n-1）na_nx^n-3+…，令x=0，得a₃=0，
由（cosx）''′′=cosx=2×3×4a₄+…+（n-3）（n-2）（n-1）na_nx^n-4+…，令x=0，得a₄=$\frac{1}{2×3×4}$，
…
由以上可得a_2n=$\frac{（-1）^{n}}{2×3×4×…×2n}$=$\frac{（-1）^{n}}{（2n）!}$，
故答案为：$\frac{（-1）^{n}}{（2n）!}$．

点评 本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，属于基础题．