Question

8．设点P在直线y=x上，点Q在曲线y=lnx上，则|PQ|最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． ln2

Answer 1

分析 设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=lnx相切，则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，由导数和切线的关系由距离公式可得．

解答 解：设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=lnx相切，
则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，
设直线y=x+b与曲线y=lnx的切点为（m，lnm），
则由切点还在直线y=x+b可得lnm=m+b，
由切线斜率等于切点的导数值可得$\frac{1}{m}$=1，
联立解得m=1，b=-1，
∴由平行线间的距离公式可得|PQ|的最小值为$\frac{|-1-0|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故选：A．

点评 本题考查导数和平行线间的距离公式，等价转化是解决问题的关键，属基础题．