Question

16．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a=$\frac{1}{2}$c+bcosC．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=5，b=$\sqrt{13}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦定理、诱导公式求得cosB的值，可得B的值．
（2）由条件利用余弦定理求得ac=13，可得△ABC的面积$\frac{1}{2}$ac•sinB的值．

解答 解：（1）由$a=\frac{1}{2}c+bcosC$，可得2sinA=sinC+2sinBcosC，
∵A=π-（B+C），∴2sin（B+C）=sinC+2sinBcosC，即sinC（2cosB-1）=0．
∵0＜C＜π，∴sinC≠0，∴$cosB=\frac{1}{2}$，$B=\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，有13=（a+c）²-3ac，∴ac=4，
故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查诱导公式、正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．