Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-1，2），$\overrightarrow{b}$=（1，1），t∈R．，向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ．
（Ⅰ）求cosθ；
（Ⅱ）求|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|的最小值及相应的t值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用向量的数量积的坐标运算求cosθ；
（Ⅱ）首先求出$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$的坐标，然后用t表示其模，根据解析式是关于t的二次函数求最小值．

解答 解：（I）∵$\overrightarrow{a}$=（-1，2），$\overrightarrow{b}$=（1，1），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=（-1，2）•（1，1）=-1+2=1，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2}$，…（2分）
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{\sqrt{5}×\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$；…（6分）
（II）∵$\overrightarrow{a}$=（-1，2），$\overrightarrow{b}$=（1，1）
∴$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$=（-1+t，2+t），…（8分）
∴|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{{（t-1）}^2}+{{（t+2）}^2}}$=$\sqrt{2{{（t+\frac{1}{2}）}^2}+\frac{9}{2}}$，…（10分）
当t=-$\frac{1}{2}$时，|$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$|的最小值为$\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题考查了向量数量积的坐标运算以及模的最值求法；属于基础题．