Question

6．设M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，若方程x²-ax-b=0满足a，b∈M且方程至少有一根c∈M，则称该方程为“气质方程”，则“气质方程”的个数为（　　）

• A． 3
• B． 9
• C． 12
• D． 21

Answer 1

分析 根据题意用十字相乘法，先把b分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是a，进而可以确定方程，再依次分析c等于2、3、…10，分别分析、列举其“气质方程”的个数，由加法原理，计算可得答案．

解答 解：用十字相乘法，先把b分解因数，依据方程根与系数的关系，这两个因数的差就是a；
b=2 时，有2×1=2，a=2-1=1，则“气质方程”为x²-x-2=0；
b=3时，有3×1=3，a=3-1=2，则“气质方程”为x²-2x-3=0；
b=4时，有4×1=4，a=4-1=3，则“气质方程”为x²-3x-4=0，
另外4=2×2，a=2-2=0∉M，不符合条件，故排除；
b=5时，有5×1=5，a=5-1=4，则“气质方程”为x²-4x-5=0；
b=6时，有6×1=6，a=6-1=5，则“气质方程”为x²-5x-6=0，
同时，有2×3=6，a=3-2=1，则“气质方程”为x²-x-6=0；
b=7时，有7×1=7，a=7-1=6，则“气质方程”为x²-6x-7=0，
b=8时，有8×1=8，a=8-1=7，则“气质方程”为x²-7x-8=0，
同时，有2×4=8，a=4-2=2，则“气质方程”为x²-2x-8=0；
b=9时，有9×1=9，a=9-1=8，则“气质方程”为x²-8x-9=0，
另外9=3×3，a=3-3=0∉M，不符合条件，故排除；
b=10时，有10×1=10，a=10-1=9，则“气质方程”为x²-10x-9=0，
同时，有2×5=10，b=5-2=3，则“气质方程”为x²-3x-10=0；
综合可得，共12个“气质方程”，
故答案为12．

点评 本题考查方程的根的存在性及个数判断，分类计数原理的应用，注意分析题意，得到“气质方程”的定义，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．