Question

18．已知复数z₁=1+2i，z₂=-2+i，$\overline{{z}_{3}}$=$\frac{3{z}_{1}}{|{z}_{1}{|}^{2}}$+$\frac{4{z}_{2}}{|{z}_{2}{|}^{2}}$．
（1）求z₃；
（2）若复数z满足z+z₁为实数，且z（z₂-z₃）为纯虚数，求z．

Answer 1

分析 （1）利用复数的运算法则、模的计算公式即可的；
（2）利用复数为实数、纯虚数的定义即可得出．

解答 解：（1）由复数z₁=1+2i，z₂=-2+i，∴$|{z}_{1}{|}^{2}$=1²+2²=5，$|{z}_{2}{|}^{2}$=（-2）²+1²=5．
∴$\overline{{z}_{3}}$=$\frac{3{z}_{1}}{|{z}_{1}{|}^{2}}$+$\frac{4{z}_{2}}{|{z}_{2}{|}^{2}}$=$\frac{3（1+2i）}{5}+\frac{4（-2+i）}{5}$=$\frac{-5+10i}{5}$=-1+2i．
故z₃=-1-2i；
（2）设z=x+yi（x，y∈R）．
由z+z₁为实数，得y+2=0，即y=-2．
又z₂-z₃=（-2+i）-（-1-2i）=-1+3i，
则z（z₂-z₃）=（x-2i）（-1+3i）=6-x+（3x+2）i为纯虚数，得$\left\{\begin{array}{l}{6-x=0}\\{3x+2≠0}\end{array}\right.$，
∴x=6，
∴z=6-2i．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数为实数、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．