Question

11．设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存实数m，使f（m）=-a．
（1）试推断$\frac{b}{2a}$与0的大小，并说明理由；
（2）设g（x）=f（x）+bx，对于x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若g（x₁）=g（x₂）=0，求|x₁-x₂|的取值范围；
（3）求证：f（m+3）＞0．

Answer 1

分析 （1）根据方程f（m）=-a有实根△≥0，且f（1）=0，a＞b＞c，得出a＞0，c＜0，b≥0，从而得$\frac{b}{2a}≥0$；
（2）根据x₁，x₂是方程g（x）=0的两实根，由根与系数的关系计算${{|x}_{1}{-x}_{2}|}^{2}$，从而求出|x₁-x₂|的取值范围；
（3）由f（1）=0，可设f（x）=a（x-1）（x-$\frac{c}{a}$），再由f（m）=-a，求出m的取值范围，从而得出f（m+3）＞f（1）=0．

解答 解：（1）∵f（m）=-a，m∈R，
∴方程ax²+bx+c=-a有实根，
△=b²-4a（a+c）≥0，
∵f（1）=0，∴a+b+c=0，即a+c=-b；
∵b²-4a（-b）=b（b+4a）≥0，
∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，
从而b+4a=-（a+c）+4a=3a-c＞0；
∴b≥0，∴$\frac{b}{2a}≥0$；…（4分）
（2）据题意，x₁，x₂是方程g（x）=0，即ax²+2bx+c=0的两实根；
∴${{|x}_{1}{-x}_{2}|}^{2}$=${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-4x₁x₂
=$\frac{{4b}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4c}{a}$
=$\frac{4}{{a}^{2}}$（b²-ac）
=$\frac{4}{{a}^{2}}$[（a+c）²-ac]
=4[${（\frac{c}{a}）}^{2}$+$\frac{c}{a}$+1]
=4${（\frac{c}{a}+\frac{1}{2}）}^{2}$+3；
∵a＞b=-（a+c），
∴2a＞-c＞0，
∴$\frac{c}{a}$＞-2；
又a+c=-b≤0，
∴$\frac{c}{a}$≤-1；
∴${（\frac{c}{a}+\frac{1}{2}）}^{2}$∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{9}{4}$），
∴|x₁-x₂|∈[2，2$\sqrt{3}$）；…（8分）
（3）∵f（1）=0，设f（x）=a（x-1）（x-$\frac{c}{a}$），
∵f（m）=-a，
∴a（m-1）（m-$\frac{c}{a}$）=-a，
∴（m-1）（m-$\frac{c}{a}$）=-1＜0，
又∵-2＜$\frac{c}{a}$＜m＜1，
∴m＞-2，
∴m+3＞1；
∴f（m+3）＞f（1）=0．…（12分）

点评 本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，也考查了一元二次方程与对应的不等式的解法与应用问题，是综合性题目．