Question

6．已知函数f（x）=2lnx-x²．
（1）求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间和极值；
（3）若函数f（x）与g（x）=x+$\frac{a}{x}$（a∈R）有相同极值点，且对于任意的${x_1}，{x_2}∈[\frac{1}{e}，e]$，不等式f（x₁）-g（x₂）≤m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，求得切线的斜率，切点，由点斜式方程可得切线方程；
（2）求得导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域，即可得到极大值；
（3）分别求得f（x）、g（x）在$[\frac{1}{e}，e]$上的最大值和最小值，由题意可得m≥f（x）_max-g（x）_min，即可得到m的范围．

解答 解：（1）∵$f'（x）=-2x+\frac{2}{x}=-\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$，
∴f′（1）=0，所求的切线斜率为0，
又切点为（1，-1），
故所求切线方程为y=-1；
（2）∵$f'（x）=-\frac{2（x+1）（x-1）}{x}$且x＞0，
令f′（x）＞0得0＜x＜1，令f′（x）＜0得x＞1．
从而函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）
显然函数只有极大值，且极大值为f（1）=-1；
（3）由（2）知，x=1是函数y=f（x）的极值点，
且函数f（x）在$[\frac{1}{e}，e]$上的最大值为f（1）=-1，
若y=g（x）与y=f（x）有相同的极值点，
∴x=1也是y=g（x）的极值点，又$g'（x）=1-\frac{a}{x^2}$，
∴g′（1）=1-a=0，得a=1，即$g（x）=x+\frac{1}{x}$，
当$x∈[\frac{1}{e}，e]$时，$g（x）=x+\frac{1}{x}≥2$，
当且仅当x=1时取等号，∴函数y=g（x）在$[\frac{1}{e}，e]$上的最小值为2，
要对于任意x₁，x₂$∈[\frac{1}{e}，e]$，不等式f（x₁）-g（x₂）≤m恒成立，
只要m≥f（x）_max-g（x）_min，由$x∈[\frac{1}{e}，e]$，即得m≥-1-2=-3，
故实数m的取值范围是[-3，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，同时考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，属于中档题．