Question

15．函数f（x）=$\frac{{a{x^2}+b}}{x}$的图象在点M（1，3）处的切线方程为x+y-4=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）m，n∈R，若$x∈[\frac{1}{2}，2]$时，f（x）_min≤m²+n²，且存在${x_0}∈[\frac{1}{2}，2]$使得f（x₀）≥m²+n²，求复数z=m+ni在复平面上对应的点构成的区域面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，由切线方程可得f（1）=3，f′（1）=-1，解方程可得a，b；
（Ⅱ）求得f（x）在$x∈[\frac{1}{2}，2]$时的极值和最值，可得m²+n²的范围，运用复数的几何意义和圆的面积公式，计算即可得到．

解答 解（ I）∵$f（x）=ax+\frac{b}{x}$，∴$f'（x）=a-\frac{b}{x^2}$，
依题意$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=-1\\ f（1）=3\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{a-b=-1}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$；                       
（ II）由（ I）可得f（x）=x+$\frac{2}{x}$，
$f'（x）=1-\frac{2}{x^2}=\frac{{{x^2}-2}}{x^2}$，
令f′（x）=0解得$x=\sqrt{2}$，$x=-\sqrt{2}$（舍去），
当x变化时，f（x），f'（x）的变化如下表：

x	$\frac{1}{2}$	$（\frac{1}{2}，\sqrt{2}）$	$\sqrt{2}$	（$\sqrt{2}$，2）	2
f'（x）		-		+
f（x）	$\frac{9}{2}$	↘	极小值f（$\sqrt{2}$）	↗	3

由上表可得，$f{（x）_{max}}=\frac{9}{2}$，$f{（x）_{min}}=f（\sqrt{2}）=2\sqrt{2}$，
所以$2\sqrt{2}≤{m^2}+{n^2}≤\frac{9}{2}$．
所以z=m+ni在复平面上对应的点构成的区域是以原点为圆心，${2^{\frac{3}{4}}}$为半径的圆的外部，
$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$为半径的圆的内部（包括圆周），
所以所求的区域面积为$\frac{9}{2}π-2\sqrt{2}π=（\frac{9}{2}-2\sqrt{2}）π$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查复数的几何意义和圆的面积，属于中档题．