Question

10．已知定义在[-3，3]上的函数f（x）=（x²+ax+b）x，在x=±1处的切线斜率均为-1．有以下命题：
①f（x）是奇函数；
②若f（x）在[s，t]内递减，则|t-s|的最大值为4；
③若方程f（x）-m=0有三个根，则m的取值范围是$（-\frac{{16\sqrt{3}}}{9}，\frac{{16\sqrt{3}}}{9}）$；
④若对?x∈[-3，3]，k≤f′（x）恒成立，则k的最大值为3．
其中正确命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由f（0）=0，f′（1）=f′（-1）=-1，代入可求a，b，进而可求f（x）．
①由于f（-x）=-x³+4x=-f（x），即f（x）是奇函数；
②若f（x）在[s，t]内递减，则t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，s=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，|t-s|的最大；
③由f（x）的极值，可得直线y=m和曲线y=f（x）x∈[-3，3]有三个交点，等价为m介于极小值和极大值之间；
④若对?x∈[-3，3]，由于f′（x）=3x²-4∈[-4，23]，则k≤f′（x）恒成立，则k≤f′（x）_min即可求解k．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+bx，在定义域x∈[-3，3]上表示的曲线过原点，
∴f（0）=0，
∵f′（x）=3x²+2ax+b，且在x=±1处的切线斜率均为-1．
∴f′（1）=f′（-1）=-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3+2a+b=-1}\\{3-2a+b=-1}\end{array}\right.$，解得b=-4，a=0，
∴f（x）=x³-4x，f′（x）=3x²-4．
对于①，∵f（-x）=-x³+4x=-f（x），即f（x）是奇函数；①正确；
对于②，由f′（x）≥0得x≥$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或x≤-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，f（x）在[-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]内单调递减，
若f（x）在[s，t]内递减，则t=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，s=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时|t-s|的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．②错误；
对于③，由②的分析可得，x=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，f（x）取得极大值$\frac{16\sqrt{3}}{9}$，x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，f（x）取得极大值-$\frac{16\sqrt{3}}{9}$，
结合单调性，可得方程f（x）-m=0有三个根，即为直线y=m和曲线y=f（x）x∈[-3，3]有三个交点，
则m的取值范围是$（-\frac{{16\sqrt{3}}}{9}，\frac{{16\sqrt{3}}}{9}）$，则③正确；
对于④，若对?x∈[-3，3]，由于f′（x）=3x²-4∈[-4，23]，则k≤f′（x）恒成立，则k≤-4，
则k的最大值为-4．④错误．
正确命题的序号为①③．
故选：B．

点评 本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，函数的奇偶性及单调性等知识的综合应用．属于中档题和易错题．