Question

2．已知直线l与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$交于A、B两点，弦AB的中点为P（1，1），则直线l的方程是（　　）

• A． x+2y-3=0
• B． 2x+y-3=0
• C． 2x-y-1=0
• D． x-2y+1=0

Answer 1

分析 利用“点差法”可求得直线AB的斜率，再利用点斜式即可求得直线l的方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（1，1）是线段AB的中点，
则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
依题意，$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+2{{y}_{1}}^{2}=4}\\{{{x}_{2}}^{2}+2{{y}_{2}}^{2}=4}\end{array}\right.$，
①-②得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）=-2（y₁+y₂）（y₁-y₂），
由题意知，直线l的斜率存在，
∴k_AB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴直线l的方程为：y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），
整理得：x+2y-3=0．
P（1，1）在椭圆内，故成立．
故选A．

点评 本题考查椭圆的简单性质与直线的点斜式方程，求直线l的斜率是关键，也是难点，着重考查点差法，属于中档题．