Question

20．如图，在圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π）的扇形OAB内作一半径为r的内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，圆P与圆Q相切于C点，圆P和圆Q与半径OA分别切于E，D两点．
（1）当圆Q的半径不低于$\frac{OA}{9}$时，求θ的最大值；
（2）设BH为点B到半径OA的距离，当$\frac{BH}{PE}$取得最大值时，扇形被称之为“最理想扇形”．求“最理想扇形”的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意得OA=$\frac{1+sinθ}{sinθ}$，QD=$\frac{1-sinθ}{1+sinθ}$r，由QD≥$\frac{OA}{9}$可得sinθ的不等式，解不等式解正弦函数的单调性可得；
（2）可得$\frac{BH}{PE}$=2cosθ（1+sinθ），设f（θ）=cosθ（1+sinθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），由导数法可得函数的最值，可得结论．

解答 解：（1）由题意得OP=$\frac{PE}{sinθ}$=$\frac{r}{sinθ}$，
又OP+PE=OA，∴$\frac{r}{sinθ}$+r=OA，∴OA=$\frac{1+sinθ}{sinθ}$r，
又OQ=$\frac{QD}{sinθ}$且OP=OQ+CQ+PC，∴$\frac{r}{sinθ}$=$\frac{QD}{sinθ}$+QD+r，
∴QD=$\frac{1-sinθ}{1+sinθ}$r
则当圆Q的半径不小于$\frac{OA}{9}$，即QD≥$\frac{OA}{9}$也即$\frac{1-sinθ}{1+sinθ}$r≥$\frac{1+sinθ}{9sinθ}$r，
整理得10sin²θ-7sinθ+1≤0，即$\frac{1}{5}$≤sinθ≤$\frac{1}{2}$，
又θ∈（0，$\frac{π}{2}$），y=sinθ在θ∈（0，$\frac{π}{2}$）单调增，
故θ的最大值为$\frac{π}{6}$；
（2）∵BH=OBsin2θ=sin2θ×$\frac{1+sinθ}{sinθ}$r=2cosθ（1+sinθ）r，
∴$\frac{BH}{PE}$=2cosθ（1+sinθ），设f（θ）=cosθ（1+sinθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
则f′（θ）=-sinθ（1+sinθ）+cos²θ=-2sin²θ-sinθ+1
令f′（θ）＞0可解得-1＜sinθ＜$\frac{1}{2}$，可得θ∈（0，$\frac{π}{6}$），
同理令f′（θ）＜0可得θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），
则当θ∈（0，$\frac{π}{6}$）时，f（θ）为增函数，当θ∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）时，f（θ）为减函数，
∴当θ=$\frac{π}{6}$时，$\frac{BH}{PE}$取得最大值，此时OA=$\frac{1+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$r=3r，
故“最理想扇形”的面积为$\frac{1}{2}×\frac{π}{6}×O{A}^{2}$=$\frac{π}{12}×（3r）^{2}$=$\frac{3}{4}π{r}^{2}$

点评 本题考查导数和三角函数的综合应用，涉及新定义和导数法判函数的单调性，属难题．