Question

1．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4：π，即V_牟：V_球=4：π．也导出了“牟合方盖”的$\frac{1}{8}$体积计算公式，即$\frac{1}{8}$V_牟=r³-V_方盖差，从而计算出V_球=$\frac{4}{3}π{r^3}$．记所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V_正，则（　　）

• A． V_方盖差＞V_正
• B． V_方盖差=V_正
• C． V_方盖差＜V_正
• D． 以上三种情况都有可能

Answer 1

分析 计算出V_方盖差，V_正，即可得出结论．

解答 解：由题意，V_方盖差=r³-$\frac{1}{8}$V_牟=r³-$\frac{1}{8}×\frac{4}{π}×\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{1}{3}$r³，
所有棱长都为r的正四棱锥的体积为V_正=$\frac{1}{3}×r×r×\sqrt{{r}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}r）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$r³，
∴V_方盖差＞V_正．
故选：A．

点评 本题考查新定义，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．