Question

9．设x∈R，函数$f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，-\frac{π}{2}＜φ＜0）$的最小正周期为π，且$f（\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求ω和φ的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在（-π，π）上的单调第减区间；
（Ⅲ）若f（x）＞$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由周期可得ω=2，再由且$f（\frac{π}{4}）=\frac{1}{2}$和φ的范围可得φ值；
 （II）由（I）知$f（x）=sin（2x-\frac{π}{3}）$，易得单调递减区间，取在（-π，π）的即可；
（III）由正弦函数的图象结合$sin（2x-\frac{π}{3}）＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$可得$2kπ+\frac{π}{4}＜2x-\frac{π}{3}＜2kπ+\frac{3π}{4}，k∈Z$，解不等式可得．

解答 解：（I）周期$T=\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2，
∵$f（\frac{π}{4}）=sin（2×\frac{π}{4}+φ）=sin（\frac{π}{2}+φ）=cosφ=\frac{1}{2}$，
又∵$-\frac{π}{2}＜φ＜0$，∴$ϕ=-\frac{π}{3}$；
 （II）由（I）知$f（x）=sin（2x-\frac{π}{3}）$，
由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2}，k∈Z$可得$2kπ+\frac{5π}{6}≤2x≤2kπ+\frac{11π}{6}，k∈Z$，
∴$kπ+\frac{5π}{12}≤x≤kπ+\frac{11π}{12}，k∈Z$，
∵x∈（-π，π），∴$-\frac{7π}{12}≤x≤-\frac{π}{12}$，$\frac{5π}{12}≤x≤\frac{11π}{12}$，
∴函数f（x）在（-π，π）上的单调第减区间为$[{-\frac{7π}{12}，-\frac{π}{12}}]$，$[{\frac{5π}{12}，\frac{11π}{12}}]$；
（III）∵$sin（2x-\frac{π}{3}）＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$2kπ+\frac{π}{4}＜2x-\frac{π}{3}＜2kπ+\frac{3π}{4}，k∈Z$，
∴$2kπ+\frac{7π}{12}＜2x＜2kπ+\frac{13}{12}π，K∈Z$，
∴$kπ+\frac{7}{24}π＜x＜kπ+\frac{13}{24}π，k∈Z$，
∴$x的范围是\{x|kπ+\frac{7}{24}π＜x＜kπ+\frac{13}{24}π，k∈{Z}\}$

点评 本题考查正弦函数的单调性和周期性，属中档题．