Question

19．已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，其前n项和为S_n，数列{b_n}为等比数列，且b₁=1，b₂S₂=16，b₃S₃=60．求：
（Ⅰ）数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（Ⅱ）由S_n=n（n+2），可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，则d＞0，
a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1．
∵b₂S₂=16，b₃S₃=60．
∴$\left\{\begin{array}{l}{（6+d）q=16}\\{（9+3）{q}^{2}=60}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{d=-\frac{6}{5}}\\{q=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$（舍去）．
故a_n=3+2（n-1）=2n+1，${b}_{n}={2}^{n-1}$．
（Ⅱ）∵S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n（n+2），
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{n（3n+5）}{4（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．