Question

10．某居民小区有A，B，C三个相互独立的消防通道，通道A，B，C在任意时刻畅通的概率分别为$\frac{4}{5}，\frac{9}{10}，\frac{5}{6}$．
（Ⅰ） 求在任意时刻至少有两个消防通道畅通的概率；
（Ⅱ） 在对消防通道A的三次相互独立的检查中，记畅通的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得，至少有两个消防通道畅通的概率$P（D）=P（AB\overline C）+P（A\overline BC）+P（\overline ABC）+P（ABC）$；
（Ⅱ）ξ的所有可能为0，1，2，3，根据独立重复试验的概率公式可求P（ξ=k），进而可求ξ的分布列及 数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由已知通道A，B，C畅通的概率分别为$P（A）=\frac{4}{5}，P（B）=\frac{9}{10}，P（C）=\frac{5}{6}$，
设“至少有两个消防通道畅通”为事件D，
∴$P（D）=P（AB\overline C）+P（A\overline BC）+P（\overline ABC）+P（ABC）$…（4分）
=$\frac{4}{5}×\frac{9}{10}×\frac{1}{6}+\frac{4}{5}×\frac{1}{10}×\frac{5}{6}+\frac{1}{5}×\frac{9}{10}×\frac{5}{6}+\frac{4}{5}×\frac{9}{10}×\frac{5}{6}$=$\frac{281}{300}$． …（6分）
（Ⅱ）∵ξ的所有可能为0，1，2，3，
∴$P（ξ=0）={C_3}^0{（\frac{1}{5}）^3}=\frac{1}{125}$，
$P（ξ=1）={C_3}^1\frac{4}{5}×{（\frac{1}{5}）^2}=\frac{12}{125}$，
$P（ξ=2）={C_3}^2{（\frac{4}{5}）^2}×\frac{1}{5}=\frac{48}{125}$，
$P（ξ=3）={C_3}^3{（\frac{4}{5}）^3}=\frac{64}{125}$．   …（10分）
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{64}{125}$

数学期望$Eξ=0×\frac{1}{125}+1×\frac{12}{125}+2×\frac{48}{125}+3×\frac{64}{125}=\frac{12}{5}$．  …（13分）

点评 本题主要考查了离散型随机变量的分布列及期望的求解，求解的关键是熟悉概率模型，准确求解相应的概率．