Question

16．数列{a_n}的前n项和为S_n=n²+n．
（1）求a_n；
（2）若b_n=3ⁿ，数列c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n的值．

Answer 1

分析 （1）运用n=1，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，化简整理，注意检验n=1的情况，即可得到通项；
（2）运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）
=2n，
上式对n=1同样成立，
即有a_n=2n；
（2）若b_n=3ⁿ，则数列c_n=a_n•b_n=2n•3ⁿ，
T_n=2•3+4•3²+6•3³+…+2n•3ⁿ，
3T_n=2•3²+4•3³+6•3⁴+…+2n•3ⁿ⁺¹，
两式相减可得，-2T_n=2•3+2•3²+2•3³+…+2•3ⁿ-2n•3ⁿ⁺¹
=2•$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-2n•3ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=$\frac{2n-1}{2}$•3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式，同时考查数列的求和方法：错位相减法，属于中档题．