Question

7．$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，sinx），$\overrightarrow{c}$=（-1，0）
（1）若x=$\frac{π}{3}$，求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角θ；
（2）若x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，f（x）=λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最大值为$\frac{1}{2}$，求λ．

Answer 1

分析 （1）当x=$\frac{π}{3}$时可得$\overrightarrow{a}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（-1，0），由夹角公式可得；
（2）可得f（x）=λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$λsin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$λ，由x的范围易得sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，分类讨论可得．

解答 解：（1）当x=$\frac{π}{3}$时，$\overrightarrow{a}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（-1，0），
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角θ满足cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{c}$的夹角θ=$\frac{2π}{3}$；
（2）f（x）=λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=λ（sin²x+sinxcosx）
=λ（$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$λsin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$λ，
∵x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x-$\frac{π}{4}$∈[-π，$\frac{π}{4}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
当λ＞0时，可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$λ=$\frac{1}{2}$，解得λ=$\frac{1}{2}$；
当λ＜0时，可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$λ•（-1）+$\frac{1}{2}$λ=$\frac{1}{2}$，解得λ=-$\sqrt{2}$-1

点评 本题考查三角函数的最值，涉及向量的夹角和数量积的运算，属基础题．