Question

19．已知函数f（x）=sinx•cosx+cos²x
（1）求最小正周期f（x）的最大值；
（2）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 化简可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$，由周期公式易得周期，解不等式2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{4}$＜2kπ+$\frac{3π}{2}$可得单调减区间．

解答 解：函数f（x）=sinx•cosx+cos²x
化简可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∵2kπ+$\frac{π}{2}$＜2x+$\frac{π}{4}$＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，
∴f（x）的单调减区间为：（kπ$+\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$）（k∈Z），
故答案为：π；（kπ$+\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$）（k∈Z），

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题．