Question

14．若二项式（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式的奇数项的二项式系数和为32，则展开式的常数项是-160．

Answer 1

分析 根据（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中奇数项的二项式系数和是32，求出n的值，由此求出该二项式展开式中的常数项．

解答 解：在（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展开式中，奇数项的二项式系数的和是32，
∴2^n-1=32，
解得n=6；
∴${（2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{6}$的展开式中，
T_r+1=${C}_{6}^{r}$•${（2\sqrt{x}）}^{6-r}$•${（-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{r}$
=（-1）^r•${C}_{6}^{r}$•2^6-r•x^3-r，
令3-r=0，
解得r=3；
∴该二项式展开式中的常数项为
（-1）³•${C}_{6}^{3}$•2^6-3=-20×2³=-160．
故答案为：-160．

点评 本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力的应用问题，是基础题目．