Question

8．已知P为椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1上的任意一点，O为坐标原点，M在线段OP上，且$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OP}$
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）已知直线3x+6y-2=0与M的轨迹相交于A，B两点，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）设M（x，y），P（x₀，y₀），由$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OP}$，解出P（x₀，y₀），代入椭圆方程即可得出．
（2）直线3x+6y-2=0与M的轨迹方程联立解得点A，B坐标，利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）设M（x，y），P（x₀，y₀），
由$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OP}$得$（{x，y}）=\frac{1}{3}（{{x_0}，{y_0}}）⇒\left\{\begin{array}{l}{x_0}=3x\\{y_0}=3y\end{array}\right.$，
∵P（x₀，y₀）在椭圆上，∴$\frac{{9{x^2}}}{4}+9{y^2}=1$，
∴M的轨迹方程为：$\frac{9{x}^{2}}{4}+9{y}^{2}$=1．
（2）据已知$\left\{\begin{array}{l}3x+6y-2=0\\ \frac{{9{x^2}}}{4}+9{y^2}=1\end{array}\right.⇒3{x^2}-2x=0$，
$\begin{array}{l}∴x=\frac{2}{3}或x=0\\∴A（{\frac{2}{3}，0}），B（{0，\frac{1}{3}}）\end{array}$
∴${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．