Question

15．已知函数f（x）=x²+ax+1，a∈R，且a≠0   
（1）若f（x）在[-1，1]上不单调，求a的取值范围；    
（2）设y=丨f（x）丨，求y在[0，丨a丨]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的图象与性质，得f（x）在[-1，1]上不单调时，它的对称轴应在该区间内，列出不等式，求解即可．
（2）讨论a＞0、a=0与a＜0时，f（x）在该区间上的单调性，求出最大值即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+ax+1，a∈R，且a≠0，
当f（x）在[-1，1]上不单调时，它的对称轴应满足-1＜-$\frac{a}{2}$＜1，
∴a的取值范围是-2＜a＜2；
（2）①当a＞0时，y=|f（x）|在区间[0，|a|]上单调递增，最大值为|f（a）|=2a²+1；
②当a=0时，f（0）=f（|a|）=1，
③当a＜0时，因为f（-$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
令|1-$\frac{{a}^{2}}{4}$|≤1，即-2$\sqrt{2}$≤a＜0，
|f（x）|_max=|f（0）|=1，
令|1-$\frac{{a}^{2}}{4}$|＞1，即a＜-2$\sqrt{2}$，
|f（x）|_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$-1；
综上，y=|f（x）|在区间[0，|a|]上的最大值为
|f（x）|_max=$\left\{\begin{array}{l}{{2a}^{2}+1，a＞0}\\{1，-2\sqrt{2}≤a≤0}\\{\frac{{a}^{2}}{4}-1，a＜-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了含有字母系数的二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应用分类讨论的思想进行解答，是综合性问题．