Question

7．已知函数f（x）的定义域为D，区间I⊆D，若存在常数L，使得对任意x₁，x₂∈I，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|，则称函数f（x）在区间I上满足李普希兹（Lipschitz）条件，已知f（x）=x²e^x在区间（-∞，1]上满足李普希兹条件，则L的最小值是（　　）

• A． 3e
• B． 2e
• C． e
• D． 1

Answer 1

分析 由所给的定义，将：|f（x₁）-f（x₂）|≥k|x₁-x₂|成立变为$\frac{|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$，此意义为k小于等于函数的导数的绝对值的最小值．由此关系求L．

解答 解：由题意：|f（x₁）-f（x₂）|≥k|x₁-x₂|成立变为$\frac{|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$，
∵函数f（x）=x²e^x在区间（0，+∞）满足利普希茨条件
∴f'（x）=（2x+x²）e^x，又x∈（-∞，1]故f'（x）≥3e在区间（-∞，1]上恒成立．
故常数k的最小值为3e．
故选：A

点评 本题考查函数的最值的应用，求解本题的关键是正确理解定义且能对$\frac{|f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）|}{|{x}_{1}-{x}_{2}|}$进行转化，转变为求导数的最小值来求参数的取值范围，本题易因为对导数的意义与本题中所给的定义不理解而导致错误，解题时要注意积累这方面的转化经验．