Question

3．已知椭圆C₁的中心在坐标原点，两个焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），点A（2，3）在椭圆C₁上，过点A的直线L与抛物线C₂：x²=4y交于B，C两点，抛物线C₂在点B，C处的切线分别为l₁，l₂，且l₁与l₂交于点P．
（Ⅰ） 求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）是否存在满足|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|的点P？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）； 若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由c=2，$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，联立解得即可得出．
（II）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．设直线AB的方程为：y-3=k（x-2），与抛物线方程联立化为x²-4kx+8k-12=0．由抛物线C₂：x²=4y，可得${y}^{′}=\frac{1}{2}x$．可得 C₂在点B处的切线l₁的方程为：$y=\frac{1}{2}{x}_{1}•x-\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}$．C₂在点C处的切线l₂的方程为：$y=\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}$．联立P（2k，2k-3）．由于|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|，可得点P在椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$上．代入可得7k²-12k-3=0．由△₁＞0，可得方程有两个不等的实数根．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由c=2，$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{9}{{b}^{2}}$=1，a²=b²+c²，
联立解得a²=16，b²=12．
∴椭圆C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），P（x₀，y₀）．
设直线AB的方程为：y-3=k（x-2），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3-2k}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，化为x²-4kx+8k-12=0．
△=16k²-4（8k-12）＞0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=8k-12．
由抛物线C₂：x²=4y，可得${y}^{′}=\frac{1}{2}x$．
∴C₂在点B处的切线l₁的方程为：$y=\frac{1}{2}{x}_{1}•x-\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}$．．
同理C₂在点C处的切线l₂的方程为：$y=\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{{x}_{1}}{2}x-\frac{1}{4}{x}_{1}^{2}}\\{y=\frac{{x}_{2}}{2}x-\frac{1}{4}{x}_{2}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=2k}\\{y=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}=2k-2}\end{array}\right.$，∴P（2k，2k-3）．
∵|PF₁|+|PF₂|=|AF₁|+|AF₂|，
∴点P在椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$上．
∴$\frac{（2k）^{2}}{16}+\frac{（2k-3）^{2}}{12}=1$．
化简得7k²-12k-3=0．（*）
由△₁=12²+4×21＞0，可得方程（*）有两个不等的实数根．
∴满足条件的点P有两个．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、直线与抛物线相切切线问题、导数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于难题