Question

10．已经平行四边形ABCD中，AB=4，E为AB的中点，且△ADE是等边三角形，沿DE把△ADE折起至A₁DE的位置，使得A₁C=4．（1）F是线段A₁C的中点，求证：BF∥平面A₁DE；
（2）求证：A₁D⊥CE；
（3）求点A₁到平面BCDE的距离．

Answer 1

分析 （1）取DA₁的中点G，连接FG、GE，通过证明BF∥EG，利用直线与平面平行的判定定理证明BF∥平面A₁DE．
（2）取DE的中点H，连接A₁H、CH，通过证明A₁H⊥面DEBC，然后通过平面与平面垂直的判定定理证明面A₁DE⊥面DEBC，即可证明A₁D⊥CE．
（3）利用（2）的结果，直接求求点A₁到平面BCDE的距离．

解答 （1）证明：取DA₁的中点G，连接FG、GE，
∵F为A₁C中点，
∴GF∥DC，且GF=$\frac{1}{2}$DC，
∵E为平行四边形ABCD边AB的中点，
∴EB∥DC，且EB=$\frac{1}{2}$DC，
∴EB∥GF，且EB=GF，
∴四边形BFGE是平行四边形，
∴BF∥EG，
∵EG?平面A₁DE，BF?平面A₁DE
∴BF∥平面A₁DE…（4分）
（2）证明：取DE的中点H，连接A₁H、CH，
∵AB=4，AD=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，
∴△DAE为等边三角形，即折叠后△DA₁E也为等边三角形，
∴A₁H⊥DE，且A₁H=$\sqrt{3}$，
在△DHC中，DH=1，DC=4，∠HDC=60°
根据余弦定理，可得HC=$\sqrt{13}$，
在△A₁HC中，A₁H=$\sqrt{3}$，HC=13，A₁C=4，
∴A₁C²=A₁H²+HC²，即A₁H⊥HC
又∵DE∩HC=H，∴A₁H⊥面DEBC
又∵A₁H?面A₁DEM
∴面A₁DE⊥面DEBC，
∵CE⊥DE，
∴CE⊥面A₁DE，
∵A₁D?面A₁DE，
∴A₁D⊥CE…（10分）
（3）解：由第（2）问知A₁H⊥面DEBC，∴点A₁到平面BCDE的距离为A₁H=$\sqrt{3}$．…（13分）

点评 本题考查直线与平面平行与垂直的判定定理，平面与平面垂直的判定定理的应用，点A₁到平面BCDE的距离的求法，考查空间想象力以及计算能力．