Question

5．在△ABC中，∠ABC=90°，BC的中点为D，已知sin∠CAD=$\frac{1}{3}$，求∠CAB的正弦值．

Answer 1

分析 分别设出AB，．BD，则AD，AC可表示出来，利用余弦定理建立等式求得AB，则∠CAB的正弦值可得．

解答 解：
设AB=x，BD=CD=1，则AD=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，AC=$\sqrt{{x}^{2}+4}$
则在△ACD中，cos∠CAD=$\frac{A{D}^{2}+A{C}^{2}-C{D}^{2}}{2•AD•AC}$=$\frac{2{x}^{2}+4}{2\sqrt{{x}^{4}+5{x}^{2}+4}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
求得x=$\sqrt{2}$，
∴sin∠CAB=$\frac{2}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$

点评 本题主要考查了余弦定理的运用，解三角形问题的应用．解题的关键是找到各边的关系．