已知x1.x2是方程x2-(a-2)x+(a2+3a+5)=0的两个实根.求x12+x22的最大值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．已知x₁，x₂是方程x²-（a-2）x+（a²+3a+5）=0（a为实数）的两个实根，求x₁²+x₂²的最大值．

分析根据一元二次方程有解的条件求出a的取值范围，再利用根与系数的关系求出${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$的最大值．

解答解：∵x₁，x₂是方程x²-（a-2）x+（a²+3a+5）=0（a为实数）的两个实根，
∴x₁+x₂=a-2，
x₁x₂=a²+3a+5，
且△=（a-2）²-4（a²+3a+5）=-3a²-16a-16≥0，
即-4≤a≤-$\frac{4}{3}$；
∴${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$=${{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}$-2x₁x₂=（a-2）²-2（a²+3a+5）=-（a+5）²+19，
又∵-4≤a≤-$\frac{4}{3}$，
∴a=-4时，-（a+5）²+19=-1+19=18是最大值；
∴x₁²+x₂²的最大值为18．

点评本题考查了一元二次方程的根与系数的应用问题，也考查了求函数在闭区间上的最值问题，是基础题目．

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