Question

9．已知点A（1，3），B（3，6），点P在直线y=x+1上，求|PA|+|PB|的最小值，以及取最小值时P点的坐标．

Answer 1

分析 设点A（1，3）关于直线y=x+1的对称点A′（m，n）．利用轴对称的性质可得A′的坐标．连接A′B与直线相交于点P，则|PA|+|PB|的最小值为|A′B|．利用两点间的距离公式即可得出|PA|+|PB|的最小值，求出A′B方程，与y=x+1联立，可得P的坐标．

解答 解：设点A（1，3）关于直线y=x+1的对称点A′（m，n）．
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+3}{2}=\frac{m+1}{2}+1}\\{\frac{n-3}{m-1}=-1}\end{array}\right.$，
解得m=2，n=2，
连接A′B与直线相交于点P，则|PA|+|PB|的最小值为|A′B|=$\sqrt{（3-2）^{2}+（6-2）^{2}}$=$\sqrt{17}$．
A′B方程为y-2=$\frac{6-2}{3-2}$（x-2），即4x-y-6=0，
与y=x+1联立，可得P的坐标为（$\frac{7}{3}$，$\frac{10}{3}$）．

点评 本题考查了最小值问题转化为轴对称问题，考查了相互垂直的直线斜率之间的关系和中点坐标公式，属于中档题．