Question

2．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），其离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l与圆x²+y²=$\frac{2}{3}$相切，求证：OA⊥OB（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）由离心率及a²=b²+c²，得a与b的关系式，再将点M的坐标代入椭圆方程中，求解关于a，b的二元二次方程组，即得a²，b²，从而得椭圆的标准方程；
（2）根据圆心到直线的距离等于圆的半径，得k与m的等量关系，要证明OA⊥OB，只需证明$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0即可，从而将数量积转化为坐标运算，联立直线l与椭圆方程，利用韦达定理消去坐标，得到关于k，m的代数式，再利用前面k与m的等量关系即可达到目的．

解答 解：（1）由离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，a²=2b²，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2{b}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，将M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入，得b²=1，a²=2，
则所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）证明：因为直线l与圆x²+y²=$\frac{2}{3}$相切，
所以$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即m²=$\frac{2}{3}$（1+k²），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
设点A、B的坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{3{m}^{2}-2-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，
故OA⊥OB．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率公式和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查直线和圆相切的条件，属于中档题．