Question

11．已知a＞0，证明$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$$＞a+\frac{1}{a}$-2．

Answer 1

分析 利用分析法，证明a+$\frac{1}{a}$＞$\frac{3}{2}$即可．

解答 证明：∵a＞0，∴a+$\frac{1}{a}$≥2，
∴a+$\frac{1}{a}$-2≥0，
∴要证明$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}}$$＞a+\frac{1}{a}$-2，
只要证明a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$＞（a+$\frac{1}{a}$）²-4（a+$\frac{1}{a}$）+4，
只要证明：a+$\frac{1}{a}$＞$\frac{3}{2}$，
∵a+$\frac{1}{a}$≥2＞$\frac{3}{2}$，
∴原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，着重考查分析法的运用，考查推理论证能力，属于中档题．