Question

10．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0）．若椭圆上存在点P使$\frac{a}{sin∠PF_1F_2}$=$\frac{c}{sin∠PF_2F_1}$，求该椭圆的离心率的取值范围．

Answer 1

分析 利用正弦定理、椭圆的定义，结合条件，即可求该椭圆的离心率的取值范围．

解答 解：在△PF₁F₂中，由正弦定理知$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{F}_{1}|}$，
∵$\frac{a}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{c}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$，
∴$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{F}_{1}|}$=$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{e}$，即|PF₁|=e|PF₂|．①
又∵P在椭圆上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a，
将①代入得|PF₂|=$\frac{2a}{e+1}$∈（a-c，a+c），
同除以a得，1-e＜$\frac{2}{e+1}$＜1+e，得$\sqrt{2}$-1＜e＜1．

点评 本题考查椭圆的离心率的取值范围，考查正弦定理、椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．．