Question

15．已知椭圆C：x²+2y²=4
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB求线段AB长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）椭圆C：x²+2y²=4化为标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，求出a，c，即可求椭圆C的离心率；
（2）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．

解答 解：（1）椭圆C：x²+2y²=4化为标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
∴a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）设A（t，2），B（x₀，y₀），x₀≠0，则
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴tx₀+2y₀=0，
∴t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∵x₀²+2y₀²=4，
∴|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²=（x₀+$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$）²+（y₀-2）²
=x₀²+y₀²+$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$+4=x₀²+$\frac{4-{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{2（4-{{x}_{0}}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}}$+4=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$+4（0＜x₀²≤4），
因为$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$≥4（0＜x₀²≤4），
当且仅当$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$=$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$，即x₀²=4时等号成立，
所以|AB|²≥8．
∴线段AB长度的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．