Question

4．已知函数f（x）=x³+mx²+nx+m²在x=1时有极值10，则m+n=（　　）

• A． 7
• B． 0
• C． 0或-7
• D． -7

Answer 1

分析 对函数进行求导，根据函数f（x）在x=-1有极值0，可以得到f（-1）=0，f′（-1）=0，代入求解即可

解答 解：∵f（x）=x³+mx²+nx+m²  
∴f′（x）=3x²+2mx+n
依题意可得$\left\{\begin{array}{l}f（1）=10\\ f′（1）=0\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}1+m+n+{m}^{2}=10\\ 3+2m+n=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}m=-3\\ n=3\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=4\\ n=-11\end{array}\right.$，
当m=-3，n=3时函数f（x）=x³-3x²+3x+9，f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²≥0
函数在R上单调递增，函数无极值，舍，
所以m+n=-7．
故选：D．

点评 本题主要考查函数在某点取得极值的性质：若函数在取得极值⇒f′（x₀）=0．反之结论不成立，即函数有f′（x₀）=0，函数在该点不一定是极值点，（还得加上在两侧有单调性的改变），属中档题．