Question

9．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，且f（x）=a^xg（x）（a＞0a≠1），$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$．若数列$\frac{f（n）}{g（n）}$的前n项和小于126，则n的最大值为5．

Answer 1

分析 f（x）=a^xg（x）（a＞0，a≠1），可得a^x=$\frac{f（x）}{g（x）}$．由于f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，可得（a^x）′=$\frac{{f}^{′}（x）g（x）-f（x）{g}^{′}（x）}{{g}^{2}（x）}$＞0，可得函数y=a^x单调递增，a＞1．由于$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$．解得a=2．由数列$\frac{f（n）}{g（n）}$的前n项和=2+2²+…+2ⁿ，利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：∵f（x）=a^xg（x）（a＞0，a≠1），
∴a^x=$\frac{f（x）}{g（x）}$．
∵f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0，
∴（a^x）′=$\frac{{f}^{′}（x）g（x）-f（x）{g}^{′}（x）}{{g}^{2}（x）}$＞0，
∴函数y=a^x单调递增，
∴a＞1．
∵$\frac{f（1）}{g（1）}$+$\frac{f（-1）}{g（-1）}$=$\frac{5}{2}$．
∴a+a^-1=$\frac{5}{2}$，a＞1．
解得a=2．
若数列$\frac{f（n）}{g（n）}$的前n项和=2+2²+…+2ⁿ=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2＜126，
∴2ⁿ⁺¹＜2⁷，
解得n＜6，
∴满足条件的n的最大值为：5．
故答案为：5．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、等比数列的前n和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．