Question

18．在半径为R的圆的内接四边形ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=120°，AD+CD=10．求：
（Ⅰ）AC的长及圆的半径R；
（Ⅱ）四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理可求AC的值，由正弦定理即可得解．
（Ⅱ）设AD=m，CD=n，m+n=10，在△ACD中，由余弦定理得mn=24，则由三角形面积公式可求S_△ACD，S_△ABC，从而得解．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}-2AB•BC•cosB}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}-2×2×4×（-\frac{1}{2}）}=2\sqrt{7}$，…4分
由正弦定理得：2R=$\frac{AC}{sin∠ABC}=\frac{2\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4\sqrt{21}}{3}$，R=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$       …7分
（Ⅱ）设AD=m，CD=n，m+n=10，
在△ACD中，由余弦定理得，AC²=m²+n²-mn=（m+n）²-3mn  …9分
即28=100-3mn，∴mn=24．…11分
则S_△ACD=$\frac{1}{2}$mnsin60°=6$\sqrt{3}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×2×4×sin120°=2\sqrt{3}$，…13分
所以四边形ABCD的面积为8$\sqrt{3}$． …14分．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．