Question

10．已知定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期函数，且周期为$\frac{3}{2}$．当$x∈[0，\frac{3}{4}]$时，$f（x）=\frac{a+sinπx}{{\sqrt{2}+cosπx}}-bx$（a、b∈R），则 f（1）+f（2）+…+f（100）的值为$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 利用给出的条件得出a=0，b的值，根据周期性和奇偶性得出（1）+f（2）+…+f（100）=f（1）=-f（$\frac{1}{2}$）即可．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
∵当$x∈[0，\frac{3}{4}]$时，$f（x）=\frac{a+sinπx}{{\sqrt{2}+cosπx}}-bx$（a、b∈R），
∴a=0，
即当$x∈[0，\frac{3}{4}]$时，f（x）=$\frac{sinπx}{\sqrt{2}+cosπx}$-bx（a、b∈R），
∵函数f（x）的周期为$\frac{3}{2}$，f（1）=f（$\frac{3}{2}$$-\frac{1}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$），
f（2）=f（$\frac{3}{2}$$+\frac{1}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$），
f（3）=f（$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$）=f（0）=0
f（4）=f（3+1）=f（1）=f（-$\frac{1}{2}$），
…f（100）=f（99+1）=f（1）=f（-$\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$），
∴f（1）+f（2）+…+f（100）=f（1）=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$+\frac{b}{2}$，
∵定义在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期函数，且周期为$\frac{3}{2}$，
∴f（-$\frac{3}{4}$）=-f（$\frac{3}{4}$）=-1+$\frac{3b}{4}$，
f（-$\frac{3}{4}$）=f（$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{4}$）=f（$\frac{3}{4}$）=1-$\frac{3b}{4}$，
∴-1$+\frac{3b}{4}$=1-$\frac{3b}{4}$，求解b=$\frac{4}{3}$
∴f（1）+f（2）+…+f（100）=f（1）=-f（$\frac{1}{2}$）=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$+\frac{b}{2}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$+\frac{2}{3}$，
故答案为：$-\frac{\sqrt{2}}{2}$$+\frac{2}{3}$．

点评 本题综合考查了函数的性质周期性运奇偶性的运用，整体运用的思想，考查了逻辑推理变换的能力，属于中档题．